已知x属于[-3,2],求f(x)=1/4^x-1/2^x+1的值域

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 11:27:50
大哥大姐们我要过程。。。。。。。。

令t=1/2^x，因为x∈[-3,2]
-3≤x≤2
1/2^2≤1/2^x≤1/2^(-3)
1/4≤1/2^x≤8
即t∈[1/4,8]
f(t)=t²-t+1=[t-(1/2)]²+(3/4)
函数图象的对称轴是t=1/2
距离对称轴越远，函数值越大
当t=1/2时，函数取最小值，f(1/2)=3/4
当t=8时，函数取最大值，f(8)=57
所以函数的值域是[3/4，57]

f(x)=1/4^x-1/2^x+1
=(1/2)^2x-(1/2)^x+1
=[(1/2)^x-1/4]^2+5/4
》5/4
当且仅当(1/2)^x=1/4,即x=1时取等。
f(-3)=[2^3-1/4]^2+5/4=981/16
所以函数值域为
[5/4,981/16]

f(x)=[(1/2)^x-1/2]^2+3/4
-3<=x<=2
1/4<=(1/2)^x<=8
3/4<=f(x)<=57